Grâce au calcul de \right).$$ Déduire de ce qui précède que $f\circ g$ et $g\circ f$ ont les mêmes valeurs propres. \begin{eqnarray*} 0&1&1 x&=&x\\ Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ une matrice diagonalisable et \end{array}\right)$$ \end{array}\right),$$ Mais si En déduire que si $n>1$, alors $0$ est valeur propre de $A$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé. 3&5&0\\ 1&0\\ Soit $G=\vect(e_{p+1},\dots,e_n)$. \iff $$A=\left(\begin{array}{rcl} En effet, considérons, pour tout couple $(i,j)$ avec $i\neq j$, la matrice la matrice de passage étant Ainsi, le sous-espace propre associé à la valeur propre 2 est le sous-espace vectoriel engendré par le vecteur $u_1=\left(\begin{array}c 1\\-2\\1\end{array}\right).$. Si vous n'avez pas trouvé votre PDF, vous pouvez affiner votre demande. l’ensemble des homoth¶eties de E cad H = f‚:IE;‚ 2 IKg 2) Pour un endomorphisme u de E, on note : † u0 = IE et up = u–up¡1 pour tout entier p > 1 † C(u) (appel¶e commutant de u) la sous-algµebre de L(E) des endomorphismes v de E commutants avec u cad tels que u–v = v –u. x&=&x\\ Exercice no 10 (****) : Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie non nulle. 0&0&1 $n=2p+1$ est impair. 0&\dots&\dots&0\\ La réciproque est fausse. $$AX=2X\iff \left\{ On remarque que les sommes des coefficients sur chaque ligne sont égales, et égales à $n(a+b)$. $B$ serait donc nilpotente. On commence par calculer le polynôme caractéristique de A, on trouve Exercice 2 . $u_3=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$. 0&1&0&\dots\\ Soit $n=\dim E$ et soit $\mathcal B$ une base de $E$ constituée de y&=&x\\ $BA$ est diagonalisable, tandis que $AB$ ne l'est pas. $f$ est donc un multiple de la fonction $x\mapsto \exp(\lambda x)$, et la réciproque est vraie. Le calcul précédent donne finalement $$\dim(g(E_\lambda))\leq \dim(F_\lambda)\textrm{ et }\dim(f(F_\lambda))\leq \dim(E_\lambda).$$ Si $\alpha$ n'est pas une valeur propre de $f\circ g$, Déterminer deux vecteurs propres associés à deux autres valeurs propres, et en déduire que $A$ est diagonalisable. Si est un sev de non égal à et -stable et si l’endomorph… Pour la question 2, procéder par récurrence. \end{array}\right).$$ On continue ainsi pour construire $e_3$, etc... La matrice résultante est diagonale par blocs, les $n$ blocs sont ceux apparus à la question 1. 2x-3y-2z&=&0 Proposition 1.6 Tout endomorphisme symétrique de E admet (au moins) une valeur propre. Posons alors $u_3=(0,0,-1)$. $D^n$ se calcule facilement en mettant les coefficients de la diagonale à la puissance $n$. D'après la question précédente, $E_\lambda(\phi)$ est l'ensemble des applications linéaires de $E$ à valeurs dans $E_{\lambda}(f)$. distinctes. Alors on a $AP=BQ$, et donc $B|AP$. Calculer le polynôme caractéristique de $A$. v_{n+1}&=&3u_n+5v_n\\ Ainsi, $\lambda$ est valeur propre de $B$ si et seulement si $\lambda^2$ est valeur propre de $A$, et $X=\binom{x}y$ est vecteur propre de $B$ pour la valeur propre $\lambda$ si et seulement si $x=\lambda y$ et $y$ est vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda^2$. v_n&=&((-1)^{n+1}+2^n)u_0+((-1)^{n+1}+2^{n+1})v_0\\ Dans cette question, on suppose $f$ et $g$ inversibles. Soit $E=\mathbb C^\mathbb N$ l'espace des suites à coefficients complexes, et $\phi$ l'endomorphisme de $E$ qui à une suite $(u_n)$ associe la suite $(v_n)$ définie par $v_0=u_0$ et pour tout $n\geq 1$, C'est un vecteur propre de $v$ (puisque $w$ est une restriction de $v$), et c'est un vecteur propre de $u$ puisqu'il est élément de $E_\lambda$. x&=&\lambda y Soit $E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie, et soient $f,g\in\mathcal L(E)$. Endomorphismes diagonalisables 15. 2 Danscecours estuncorpsquipeutê tre Q,Rou C. Tabledesmatières 1 Unpeudethéoriedesgroupes 7 ... semble des vecteurs de Rn est le vecteur nul (dont toutes les coordonnées sont 0). Soit, pour $n\geq 1$, la matrice $M_n$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ dont les coefficients diagonaux 1n_{2,1}&2n_{2,2}&3n_{2,3}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ Toutes les colonnes étant identiques, et la matrice n'étant pas la matrice nulle, elle est de rang 1. Soit $A$ la matrice suivante : Si $A$ est nilpotente, elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte et sa trace est nulle. Non! \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} On calcule le polynôme caractéristique de $A$. Démontrer que si $u\circ v=v\circ u$, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$. Commençons par prouver le sens direct. Les $P_k$ peuvent être compris (à un coefficient multiplicatif non nul près) comme les polynômes interpolateurs de Lagrange associés aux réels $x_1,\dots,x_p$ (qui sont tous distincts). 2&-1&-1\\ Soit $\lambda$ une valeur propre de $f$. est 0, et donc si $A$ était diagonalisable, elle serait égale à la matrice nulle, ce qui n'est pas le cas. Ainsi, son polynôme caractéristique est scindé à racines simples et Réflexes (16-12-2013) Une séries d’exercices corrigés pour revisiter les savoirs faire usuels et les classiques (environ 118 exercices sur 388 pages). $B$) la matrice de $f$ (resp. contient exactement une valeur propre de $M_n$. Le résultat est vrai pour $n=1$ car $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$ et pour $n=2$ car $P=S+iT$. Exercice 2 0&0 \begin{array}{ccccc} $$P_k(X)=X^k+X^{n-k}\textrm{ et }Q_k(X)=X^k-X^{n-k}.$$ \right)$$ -2x+2y&=&0 Pour calculer l'avant-dernier déterminant qui apparait, on retranche l'avant-dernière ligne à la dernière, puis la ligne De plus, $(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ est une base de $\mathcal M_n(\mathbb R)$. 0&0&-1\\ On va commencer par diagonaliser $f$. \begin{array}{rcl} 0&0 \dots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&2\\ 1&0\\ 1&2&1\end{array}\right).$$, On a $A=PDP^{-1}$, ce qui entraîne par récurrence $A^n=PD^nP^{-1}$. 0&1&0\\ \right.$$ \end{array}\right).$$ \end{array}\right.\iff \end{array}\right),\ $$\left|\begin{array}{ccccc} On vérifie alors que l'espace vectoriel $\textrm{vect}(x,u(x),\dots,u^{p-1}(x))$ est stable par $u$. On trouve On le note . Si on souhaite que $P_k$ soit un vecteur propre de $\phi$, il ne reste plus qu'une seule racine de $B$ à "tuer", que l'on tue en choisissant $\lambda=A(x_k)$. En conclusion, la seule valeur propre est 1, et les seuls vecteurs propres sont les suites constantes. Dans cette base, la matrice de $f$ a la forme suivante : Pour la deuxième question, vérifier que $A$ est nilpotente, et calculer son indice de nilpotence. Plus généralement, soit $u_1,\dots,u_m$ une $$A^n=\left(\begin{array}{ccc} Est-ce un isomorphisme? $$A=\left(\begin{array}{cc} Alors de dimension 1, engendré par le vecteur propre $\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\end{array}\right)$. on obtient cette fois que Or, si $A^k\neq 0$, $k$ est une valeur propre de $\phi_B$. $$D=\left( Par exemple, les sommes des coefficients sur chaque ligne sont égales... Puisque la matrice n'admet que deux colonnes distinctes, elle est de rang au plus 2. \vdots&\vdots&\dots&\ddots&\vdots\\ \begin{align*} Il n'y a bien sûr pas unicité ni de la matrice triangulaire supérieure à laquelle $A$ est semblable, Démontrer que $A$ est semblable à $\left(\begin{array}{cc}0&I_r\\0&0\end{array}\right)$. Démontrer que $A$ est diagonalisable. où $Q_1,Q_2\in \mathbb R[X]$ et donc 1&3&-3\\ \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} associé à la valeur propre 3, en résolvant $AX=3X$. Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ les valeurs propres de $u$. x&-1&0&\dots\\ Une base de $\ker(f-I)$ est donc donnée par le vecteur $(1,1,0)$. On a -1&X-2&-1&\dots&-1\\ \begin{array}{cccc} 1-2^k&2^k&2^k-1\\ Si est de dimension finie , l’idéal annulateur de est différent de , il est engendré par un unique polynôme unitaire appelé polynôme minimal de et noté . Ainsi, $L$ est diagonalisable, et ses seules valeurs propres possibles pour $L$ sont donc $1$ et $-1$. Pour la question 1, réduire $v$ "par blocs" (sur chaque sous-espace propre de $u$). $$A=\left(\begin{array}{cc} Alors $w$ est un endomorphisme du $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie $E_\lambda$ et donc $w$ admet un vecteur propre $x\in E_\lambda$. a&b&a&b&\dots\\ X&1&0&\dots&1-X $\chi_A(X)=(X-3)(X-2)^2$. Si on somme les deux inégalités obtenues, on obtient immédiatement que la propriété est aussi L'équation $\sin((n+1)\alpha)=0$ admet $n$ racines dans l'intervalle $]0,\pi[$ qui sont les réels 1&3&0\\ \end{array} $$PBP^{-1}=\left( 0&\dots&0&(n-2)-X \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$BX=\lambda X\iff\left\{ \begin{array}{ccc} REDUCTION DES ENDOMORPHISMES Et des matrices carrées A.Vecteurs et valeurs propres d’un endomorphisme Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E sur K 1) Définitions On dit qu’un vecteur x de E est un vecteur propre de f si : a) x est non nul b) il existe un scalaire tel que f x x 1&0\\ Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb K^n$ canoniquement associé à $A$. Les matrices $E_{i,i}$ sont diagonales, donc diagonalisables! Articles. Prendre par exemple On a donc $SA+iTA=BS+iBT$ soit encore $SA=BS$ et $TA=BT$. Dans ce cas, $\lambda$ doit être nul et la propriété est évidente! Puisqu'il s'agit du polynôme caractéristique de $A_n$, on en déduit que $A_n$ est diagonalisable. a_{n-1}&\ddots&\ddots&\vdots\\ On a $X_{n+1}=AX_n$. Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg −gf = f. Montrer que f est nilpotent. et en remplaçant $f(e_2)$ par $ae_1+bf(e_1)+ce_2$, on trouverait que la famille $(e_1,f(e_1),e_2)$ est liée. Chaque sous-espace $E_i$ est donc stable par $A$, pour $n\geq 0$. Polynome caract eristique d’un endomorphisme 17. Autrement dit, $0$ est la seule valeur propre de $E_{i,j}$. $f$ est diagonalisable si II. \end{array}\right| $$AP_1=BQ_1+\phi(P_1), AP_2=BQ_2+\phi(P_2)$$ \end{array}\right).$$ On ne peut pas conclure directement que $A$ est diagonalisable, il faut déterminer une base des sous-espaces propres associés. DN=\left( Soit $(u_n)$ un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$. $$A^k=\left( propre correspondant à la valeur propre 2. x&=&x\\ En particulier, si $m=1$ ou $2$, $f$ n'admet que deux valeurs propres. A est-elle diagonalisable? Écrire la relation $PA=BP$ et travailler à partir des parties réelles et imaginaires de $P$. 2&1&1\\ Utilisons la structure de la matrice. Pour $i=j$, posons 3&3&3&3\\ 3&-1&-2 Notons $P$ la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb R^3$ dans la base $(u,v,w)$. Raisonner sur la somme des dimensions des espaces propres. De plus, $g_i$ peut être n'importe quel endomorphisme de $E_{\lambda_i}(f)$. \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots Soit $b_0,\dots,b_{n-1}$ des scalaires tels que 0&-1&0&\dots&0\\ \end{array}\right|=_{C_1+C_2\to C_1} \end{array}\right).$$ Remarquons que pour tout $k=0,\dots,n$, on a $\alpha_k=\frac{k\pi}{n+1}$, $k=1,\dots,n$. \end{array} on résoud AX=X, c'est-à-dire le système : D'autre part, les inclusions démontrées à la question précédente prouvent que $y\in E$, on a Soient $a,b\in\mathbb R$ tels que $|a|\neq |b|$. Sa seule valeur propre est $0$, et si $A$ était diagonalisable, alors ce serait la matrice nulle. Autrement dit, $A$ admet deux valeurs propres distinctes, et donc $A$ est diagonalisable. $$(-1)^{n+k} P_{n}(k)=(-1)^{n+k}P_{n-1}(k)\times (k-(n-1))+0=(n-1-k)\times (-1)^{n-1+k}P_{n-1}(k)>0.$$ $$g(f(x))=g(\lambda x)=\lambda g(x)$$ $$u^p(x)=a_0x+\dots+a_{p-1}u^{p-1}(x).$$ $P\in GL_3(\mathbb R)$ telle que Si la trace de $A$ est nulle, alors $\lambda=0$ et $0$ est racine du polynôme caractéristique de degré $n$ alors que la dimension de l'espace propre associé ne vaut que $n-1$. 2$ On trouve : \iff Démontrer que, pour chaque $k=1,\dots,p$, $P_k(X)=\prod_{j\neq k}(X-x_j)$ est un vecteur propre de $\phi$. est vecteur propre associé à la valeur propre $n(a-b)$. \end{array} Par récurrence, $X_n=A^n X_0$ ce qui permet D'après le résultat de la question précédente, on a aussi La réciproque est-elle vraie? En effet, si $u$ et $v$ sont tous les deux des automorphismes, il est clair que $\ker(u)=\{0\}$ et $\textrm{Im}(u)=E$ sont stables car $v$ est bijective. Mais les familles $(P_k)_{k=0,\dots, p}$ et $(Q_k)_{k=0,\dots,p-1}$ sont encore des familles libres de vecteurs propres dont la réunion est une base de $\mathbb R_n[X]$ (il y a cette fois $p+1+p=2p+1=n+1$ vecteurs). Exercice 2 . \begin{array}{rcl} ce qui implique le résultat voulu. 1&1\\ 0&1&1\\ On raisonne par l'absurde et on suppose que $H$ ne contient pas de matrices inversibles. On en déduit que $1$ est une valeur propre de $\phi$ dont l'espace propre associé est constitué par les suites constantes. Essayer d'abord de trouver une telle base avec $n=2$. \end{eqnarray*} $$\chi_A(X)=(X-1)(X-2)(X+4).$$ $$D=\left(\begin{array}{rcl} En particulier, il existe au moins P_n(X)&=\big(X-(n-1)\big) P_{n-1}(X)+(-1)^n X\big((n-2-X)\cdots(1-X)\big)\\ Résumé Cours Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Réduction des endomorphismes et des matrices carrées, Mathématiques MP, AlloSchool Réduction des endomorphismes – corrigé Exercice 7 Soit A = 0 BB BB BB @ 1 3 3 3 1 3 3 3 7 1 CC CC CC A. Résoudre dans M3(R) l’équation X2 = A. Dans un premier temps, on diagonalise la matrice A; je passe sur les détails de calcul, on doit obtenir : $A$ ne peut pas être diagonalisable. $u_0=\lambda u_0$ et pour tout $n\geq 1$, on a $$BAB-\lambda B=B(AB-\lambda I)$$ Ce polynôme minimal est de degré $n$, car les valeurs propres de $f$ sont toutes distinctes. 1&0&0\\ On fait de même avec 2, et on trouve (par exemple) le vecteur propre $(1,-1,1)$ L(E)$. $$\det(BAB-\lambda B)=P_{BA}(\lambda)\det(B).$$ Il suffit de montrer que 2&2&2&2\\ En effectuant les deux produits de matrice, on trouve finalement : &=\big(X-(n-1)\big) P_{n-1}(X)-X(X-1)\cdots (X-(n-2)). Montrer que, pour tout $x$ de $E$, $\vect(x,f(x))$ est stable par $f$. La composition des endomorphismes (ϕ,ψ) 7→ϕ ψ est une loi associative et distri-butive par rapport à l’addition; l’application identique deG en est un élément neutre. $$A=\left(\begin{array}{ccc} &=&(-1)^{n-1}X^{n-2}\left| 0&2&1\\ Soit $P_n$ le polynôme caractéristique de 1&2&0\\ Chapitre 07 : Réduction d’endomorphismes – Cours complet. \dots&\dots&\ddots&-1\\ Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962). \begin{array}{ccc} 0&\dots&0&x \end{array} Finalement, on trouve que Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ non nulle tel que $A^2=0$ et soit $r$ le rang de $A$. 0&0&0&\dots&1\\ Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $P_{n}(X)=(X-(n-1))P_{n-1}(X)-X(X-1)\dots(X-(n-2))$. \end{array}\right.$$ $f$ est un vecteur propre de $D$ associé à la valeur propre $\lambda\in\mathbb R$ si et et seulement si $f'=\lambda f$. $$\left\{ \end{array}\right.\iff\left\{ $$\chi_J(x)=x^n-1.$$ Donner une condition nécessaire et suffisante pour Multiplions alors cette égalité à gauche par $A$. Simplement, cette fois, Raisonner par récurrence. Ceci entraîne que $P_k$ est un vecteur propre de $\phi$ associé à la valeur propre $A(x_k)$. Exercices corrigés - Base de données d'exercices. Soient u et v deux endomorphismes de E tels que ∃(α,β)∈ C2/ uv −vu =αu +βv. -2&5&2\\ Montrer que si $f\circ g$ a une valeur propre nulle, il en est de même de $g\circ f$. Autrement dit $A$ est semblable à $B$ qui est elle-même semblable à une matrice dont les coefficients diagonaux sont nuls. On a Alors pour $k=0,\dots,p$, on pose Il doit alors être facile de la somme des dimensions des $E_\lambda(\phi)$ vaut la dimension de $\mathcal L(E)$. 1&0&1\\ C'est bien que $g\circ f$ est diagonalisable. Diagonaliser $A$ et écrire $A^k=PD^kP^{-1}$. $$u^n(u^i(x))=b_0u^i(x)+b_1u(u^i( x))+\dots+b_{n-1} u^{n-1}( u^i(x)).$$ En développant par rapport à la première ligne, on trouve Réduction des endomorphismes Alexis Tchoudjem Université Lyon I 10 octobre 2011. \end{array}$$ Mais la matrice de la restriction de $A$ à $E_i$ est exactement une matrice $2\times Si on met tout ensemble, on en déduit que Pour le sens direct, il "suffit" d'écrire ce que l'on veut. -1&-1&X-3&\dots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&0 Pour la trigonalisation, chercher deux vecteurs propres $u_1$ et $u_2$, puis un troisième vecteur $u_3$ tel que $Au_3=u_3+u_2$. 2 Danscecours estuncorpsquipeutê tre Q,Rou C. Tabledesmatières 1 Unpeudethéoriedesgroupes 7 ... semble des vecteurs de Rn est le vecteur nul (dont toutes les coordonnées sont 0). 1&0&0\\ Admettons que le résultat soit vrai au rang $n-1$ et prouvons-le au rang $n$. que $A$ soit diagonalisable sur $\mathbb R$. \left| Si $m\neq 1$ et $m\neq 2$, $f$ est un endomorphisme de $\mathbb R^3$ qui admet trois valeurs propres distinctes : En particulier, on en déduit que $\dim(E_\lambda(\phi))=\dim(E)\times\dim(E_{\lambda}(f)).$ Si maintenant $f$ est diagonalisable, de valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_p$, alors 2(-1)^n-2^n&2(-1)^n-2^{n+1}&0\\ 1&4&0\\ Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. Exprimer $X_{n+1}$ en fonction de $A$ et $X_n$. \begin{array}{cccc} Pour k ∈{0,...,n−2}, le résultat de la question précédente nous dit que P n(k) et P n(k+ 1) sont de signe contraire. On a trouvé $n$ racines distinctes pour le polynôme caractéristique de $M_n$, qui est de $m$ endomorphismes de $E$, $u_1,\dots,u_m$, diagonalisables et commutant deux à deux, Pour la valeur propre 1 (attention, on travaille Le polynôme caractéristique de $A$ est de degré impair, et tout polynôme réel de degré impair admet une racine réelle (appliquer le théorème des valeurs intermédiaires avec le calcul des limites en $\pm\infty$). Soit $X=\binom{x}y$, et soit $\lambda\in \mathbb C$. Il suffit de remarquer que le résultat de la question 1. entraîne que $A^k$ est un vecteur propre Remarquer que $E_i=\mbox{vect}(e_i,e_{2p+1-i})$ est stable par $A$. 1n_{3,1}&2n_{3,2}&3n_{3,3}\\ \end{array}\right. Endomorphismes nilpotents - Matrices nilpotentes. $$A=\left(\begin{array}{ccc} Or, $R(x)=\det(S+xT)$ est un polynôme qui n'est pas identiquement nul car $R(i)\neq 0$. 0&0 C'est évident si $i=j$ (la matrice \begin{array}{rcl} Ceci signifie que le vecteur 0&b&0\\ Par unicité dans la division euclidienne, il s'agit du reste de la division euclidienne de $A(P_1+\lambda P_2)$ par $B$, c'est-à-dire de $\phi(P_1+\lambda P_2)$. 0&x&-1&0&\dots\\ $$B^3=PM^3P^{-1}=PDP^{-1}=A.$$ On calcule d'abord $J^2$, $J^3$, etc… et on observe que la diagonale de $-1$ se décale vers la droite. Que doit vérifier une valeur propre? $\mathcal P_m$ : Pour tout $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, pour toute famille 0&1\\ Réduction des endomorphismes et des matrices carrées () Réduction des endomorphismes 1 / 46 1 Objectifs 2 Valeurs propres et vecteurs propres 3 Valeurs propres et vecteurs propres en dimension finie 4 Endomorphismes/matrices diagonalisables 5 Endomorphismes et Matrices Trigonalisables Dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel sur le corps R (mais ça … \end{array} On trouve Dans cette leçon, le caractère euclidien de l’espace est essentiel pour que l’endomorphisme soit remarquable. y&=&x\\ On distingue alors trois cas : Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel et $u,v$ deux endomorphismes de $E$. \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} a_0&a_1&\dots&a_{n-1}\\ Mais $\det(AB)=\det(BA)=0$, et donc $0$ est valeur propre de $g\circ f$. y+2z&=&-1+z que $f$ est une homothétie, $f=\lambda Id_{\mathbb R^n}$. \end{array}\right|\\ Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. \begin{array}{rcl} \end{array}\right).$$. alors on a $M^3=D$. B=\left(\begin{array}{ccc} -2x+3y+2z&=&0\\ tels que $(u_1,\dots,u_p,e_{p+1},\dots,e_n)$ soit une base de $E$. 0&0&4\\ et donc Dans la base de données d'exercices, vous trouverez des exercices corrigés de mathématiques pour le supérieur (math sup et math spé, prépa ECS et ECE, licence, master, capes, agrégation externe et interne) rangés par thèmes. 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ Si $A=PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^2=PD^2P^{-1}$ et $D^2$ est diagonale. $f(e_1)$ n'est pas lié à $e_1$, puisque $f$ est sans valeur propre. On conclut finalement que : $$B=\left( Procédons de proche en proche. de $f$ et dans cette base, la matrice de $f$ est &=_{L_2-L_1\to L_2}&\left|\begin{array}{ccc} \end{array}\right)$ qui n'est pas diagonalisable alors que son carré est la matrice nulle qui est diagonale. Alors, $B=A-\sum_{i\neq j}a_{i,j}M_{i,j}$ est une matrice diagonale (si vous n'êtes pas 1&0&\dots&0 Dans la base de données d'exercices, vous trouverez des exercices corrigés de mathématiques pour le supérieur (math sup et math spé, prépa ECS et ECE, licence, master, capes, agrégation externe et interne) rangés par thèmes. Une base de $\ker(f-I)$ est donc donnée par le vecteur $(1,1,0)$. $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$. Donc, toujours par le théorème des valeurs intermédiaires, on trouve une racine $1$ est la seule racine de ce polynôme, et comme $A\neq I_3$, $A$ n'est pas diagonalisable. On fait de même pour 2 et -4, et on trouve respectivement Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. On développe le déterminant suivant la première colonne. Les valeurs propres de $f$ sont donc 1,2 et $m$. 1 est racine évidente, on factorise par $X-1$ et finalement on trouve ... Exercice 38 - Réduction des endomorphismes anti-involutifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé . Ce polynôme est scindé à racines simples sur $\mathbb C$, ses racines étant les racines $n$-ièmes de l'unité $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$, $k=0,\dots,n-1$. X&1&0&\dots&1-X Pour le sens direct, on pourra fabriquer un supplémentaire avec le théorème de la base incomplète. Poursuivons avec $B$ dont on calcule le polynôme caractéristique : que $P_{AB}=P_{BA}$. $M_{i,j}$ est diagonalisable. &=&(-1)^{n-2}\times(-1)\times(-1)^{n-2}\\ est encore une famille libre de $\mathbb R_{n}[X]$, constituée de $2(p+1)=n+1$ vecteurs. \begin{array}{c}u_n\\v_n\\w_n\end{array}\right)$. On trouve \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} On suppose qu'il existe $P\in GL_n(\mathbb C)$ tel que $PAP^{-1}=B$. On doit calculer $P^{-1}$. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ -1&-1&\dots&-1&X-(n-1)\\ Pour cela, on va calculer le polynôme caractéristique de $A$. 2&1&0\\ Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et soit $u\in\mathcal Démontrer que $\det(A+N)=\det(A)$. 0&0 Alors d'une part Le même raisonnement peut être repris dans le cas général. On n'a donc pas trop le choix! $$(S+xT)A=B(S+xT).$$ \end{array}\right)$$ Le calcul du polynôme caractéristique ne pose pas de problèmes, et on trouve, sous forme factorisée, $\chi_A(x)=(2-x)(4-x)^2$. 1&4&-2\\ est vecteur propre associé à la valeur propre $n(a+b)$. $M$ est de la forme On note $C$ son inverse. \end{array}\right).$$ z&=&0\\ On suppose $m=2$. Procédons d'abord avec $A$. Polynomes 18. \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} $$N_1=\left(\begin{array}{cccc} -x+y+z&=&0\\ \begin{array}{c|c} $u$ étant un endomorphisme d'un $\mathbb C$-espace vectoriel, il admet une valeur propre $\lambda$. En écrivant d'autre part que Puisque $u$ est un projecteur, on sait que $E=\ker(u)\oplus\textrm{Im}(u)$. Puisque $A$ n'est pas inversible, il existe un vecteur $X$ non nul tel que $AX=0$. \end{array}\right).$$, Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n'est pas diagonalisable : Alors, par le théorème de la base incomplète, il existe des vecteurs $(e_{p+1},\dots,e_n)$ de $\mathcal B$ Ay&=&\lambda x\\ Calculer le polynôme caractéristique de $\phi$ en écrivant sa matrice dans la base canonique de $E$. Un vecteur propre engendre un sous-espace stable. n'est pas diagonalisable. Alors on a \end{array}\right).$$. $A$ n'admet pas de racine carrée. Im est le sous-espace vectoriel engendré par . Exercice 1 - Vrai/faux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé . &=&BA+\alpha BCA-BA-\alpha BCA+\alpha I\\ $$\left(\begin{array}{c} J=\left( 3&0&-1\\ 2&4&2\\ \begin{array}{rcl} \end{array}\right).$$. -1&0&\dots&0&x On procède par récurrence sur $m$. Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. b&a&b&a&\dots\\ \right).$$ Justifier que si $A^k\neq 0$, alors $k$ est une valeur propre de $\phi_B$. professeur : Mohssine EL MISKICompte Instagram : https://www.instagram.com/mohssineelmiski/Compte Facebook : https://www.facebook.com/amine.mohssine.3576 Download PDF. \end{array}\right.$$ On commence par remarquer que $L$ est une symétrie : $L^2(P)=P$ pour tout polynôme $P$. &=&(X-1)(X-2)(X-m). Exercice 1 On considère la matrice A = 1 1 1 6 0 −3 8 −4 −1 respectivement B = 0 −1 1 −1 0 1 1 1 0 1. et donc $M$ commute avec $A$ si et seulement si $P^{-1}MP$ commute avec $D$, donc si et seulement si cette matrice est diagonale. 0&*\\ $$f(e_2)=ae_1+bf(e_1)+ce_2\implies -e_2=af(e_1)-be_1+cf(e_2),$$ On peut alors finir le calcul Soit $f$ l'endomorphisme associé à $A$ dans la base canonique de $\mathbb R^n$. Donc $P=0$ et la famille est bien libre. 0&\pi&3\\ Lycée Internationale de Valbonne 2020-2021 T.D. $$A_n=\left(\begin{array}{ccccc} Démontrer que $u$ et $v$ ont un vecteur propre commun. $$u^n(x)=b_0x+\dots+b_{n-1}u^{n-1}(x).$$ $u_0$, $v_0$ et $w_0$ et les relations suivantes : On vient donc de trouver une base de $E$ constituée de vecteurs propres pour $\phi$. $$B=\left(\begin{array}{ccc} Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie et soit $f\in\mathcal L(E)$. $$\sum_{i=1}^p \dim(E_{\lambda_i}(\phi))=\sum_{i=1}^p \dim(E)\times \dim(E_{\lambda_i}(f))=\dim(E)\sum_{i=1}^p \dim(E_{\lambda_i}(f))=\dim(E)^2$$ On considère la matrice carrée de taille $2n$ 0&2&0\\ \end{array}\right),\textrm{ } B=\left(\begin{array}{ccc} Caract´erisation des endomorphismes diagonalisables Proposition 8 – Soit λ ∈ K. On note Eλ = Ker(f −λId) = {x ∈ E; f(x) = λx}. $$A=\left(\begin{array}{ccc} La famille $(Id,f,\dots,f^{n-1})$ étant clairement une famille d'éléments de $\mathcal C_f$, il suffit de prouver que c'est une famille libre. On en déduit que $I_n+A^{-1}N$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale.